چه پاندول از یک ساعت پدربزرگ, قلب خود را به عنوان شما نشسته و خواندن این مقاله, و زمین در مدار به دور خورشید در مشترک دارند? نکته: پاسخ مربوط به ویژگی حرکت این سه سیستم بسیار متفاوت است. هر سه سناریو شامل تکرار حرکت است - پاندول به عقب و جلو می چرخد و دیواره های عضلانی اتاق های قلب شما در طول هر ضربان منقبض می شود و زمین هر سال همان مسیر را به دور خورشید دنبال می کند. به طور خاص, این نمونه هایی از نوسانات هستند. نوسان به عنوان حرکتی تعریف می شود که تکرار می شود.
چه نمودار از نوسانات مانند نگاه?
یکی از ساده ترین راه ها برای شناسایی نوسان بررسی نمودار یک متغیر است که مکان یا وضعیت سیستم را با تغییر زمان مشخص می کند. در اینجا یک مثال از نمودار یک تابع است که یک نوسان ساده را توصیف می کند:
 |
متغیر مستقل در محور افقی این نمودار زمان است و متغیر وابسته به محور عمودی متغیری است که سیستم را مانند موقعیت خود مشخص می کند. بر این اساس این نمودار نشان می دهد که با گذشت زمان مقدار متغیر در محور عمودی (که ممکن است برای مثال موقعیت پاندول در یک ساعت پدربزرگ باشد) در یک الگوی قابل پیش بینی و تکراری در همان مقادیر می چرخد. به این ترتیب می توانید از نگاه کردن به نمودار تشخیص دهید که این یک نوسان است.
همه نوسانات مانند مثال شکل 1 ساده نیستند. در حقیقت, ترین نوسانات در دنیای واقعی نیست. در اینجا یک نمونه از نمودار نوسان دیگر است. می توانید الگوی تکرار شما نقطه در حرکت?
 |
در شکل 2, حتی اگر سیستم است که توسط یک ساده مشخص نیست 'عقب و جلو و عقب,' این است که هنوز یک نوسان به دلیل تغییرات در طول زمان از تکرار متغیر وابسته پس از یک مقدار قابل پیش بینی از زمان. یک تکرار با یک خط قرمز افقی و یک تی برچسب گذاری شده است . در بخش بعدی یک نام و تعریف خواهیم داد.
سرانجام, مهم است که به بحث در مورد چه نوع از متغیرهای توصیف یک سیستم ممکن است نوسان. یک مثال معمول مختصات موقعیت مرکز سیستم است. موقعیت یک متغیر است که در یک سیستم پاندول یا در حرکت مداری زمین به دور خورشید نوسان می کند; با این حال, در مواردی مانند قلب, جایی که جسم نوسانی ثابت است, فشار خون در یک محفظه خاص احتمالا متغیری است که می توانید برای مشاهده الگوی تکرار مشخصه نوسان نمودار کنید. نکته مهم در اینجا این است که موقعیت یک جسم همیشه متغیری نیست که در یک سیستم واقعی در حال نوسان است.
توابع دوره ای
ما فقط یاد گرفتیم که می توانیم یک نوسان را با جستجوی یک الگوی تکراری در نمودار یک متغیر که وضعیت یک سیستم را در نظر می گیرد شناسایی کنیم. کلاس خاصی از توابع وجود دارد که نمودارهایشان الگوی تکراری از خود نشان می دهند و بنابراین بهترین توابع برای مدل سازی رفتار یک سیستم نوسانی هستند. اینها توابع دوره ای نامیده می شوند . تعریف ریاضی یک تابع تناوبی اساسا روش بصری برای شناسایی یک تابع تناوبی را که در بخش قبل مورد بحث قرار دادیم به یک تعریف نمادین ترجمه می کند. به طور مشخص, یک تابع اف(تی) یک تابع تناوبی است اگر و فقط اگر برای برخی از تعداد تی به نام دوره خود , تابع اطاعت شرایط, نشان داده شده در شکل 3, برای همه تی در دامنه تابع.
 |
معنای این تعریف در عمل این است که توابع دوره ای الگوی خود را در یک بازه زمانی برابر با دوره تکرار می کنند تی . علاوه بر این, مهم نیست که در چه مقدار از تی در حوزه تابع شما شروع به دنبال الگوی, دوره همان است. این تعریف به کمیت اهمیت زیادی می دهد تی : دوره زمانی است که برای تکرار یک حرکت لازم است. نگاهی به لحظه به نگاه در شکل 1 و 2 و ببینید اگر شما می توانید دوره بصری شناسایی. دوره در واحد زمان در امتداد محور افقی است? مهم نیست که شما شروع به اندازه گیری بصری خود را از فاصله مورد نیاز برای الگوی به تکرار, شما باید ببینید که یک تکرار اتفاق می افتد بیش از 2 واحد از زمان.
توابع هارمونیک ساده
نمونه های زیادی از توابع دوره ای وجود دارد. در واقع چون دوره یک تابع می تواند هر عدد مثبتی باشد ما می توانیم تعداد نامتناهی از توابع تناوبی را تعریف کنیم. علاوه بر این الگویی که در نمودار تکرار می شود می تواند هر شکلی به خود بگیرد. مثلا, این یک تابع تناوبی به نام'موج مربع':
 |
با این حال معلوم می شود که دو عملکرد دوره ای وجود دارد که مفیدتر از بقیه هستند. شاید قبلا مثلثات را هنگام یادگیری دیده باشید: سینوس و کسینوس هستند. از این دو عملکرد با هم به عنوان توابع هارمونیک ساده یاد می شود .
توابع هارمونیک ساده سینوسی و کسینوس دارای دو ویژگی هستند که باعث می شود در عمل هنگام مدل سازی سیستم های نوسانی بسیار مفید باشند. ابتدا می توان برای توصیف حرکت نوسانی ساده برای هر دوره دلخواه استفاده کرد تی با توجه به معادله زیر:
 |
مقدار الف در مقابل تابع سینوس دامنه نوسان نامیده می شود-اندازه نوسان را در واحدهای قابل اندازه گیری مشخص می کند. که در نمودارهای نوسانات, مشخص می کند که نمودار تا چه حد در جهت عمودی از محور افقی منحرف می شود. شما می توانید استدلال (ورودی یا بخشی در پرانتز) کسینوس را به همان شیوه برای تولید یک تابع کسینوس با هر دوره ای که می خواهید تغییر دهید.
ویژگی دوم که باعث می شود توابع هارمونیک ساده مفید ریاضی کاملا پیچیده است, بنابراین ما فقط می توانیم طرح غیررسمی در اینجا. به نظر می رسد که هر تابع تناوبی, مهم نیست که چگونه پیچیده الگوی تکرار, می تواند به عنوان مجموع توابع هارمونیک ساده با برخی از طیف وسیعی از دوره بیان. این, بسیار شل, بیانیه ای از قضیه فوریه است, که تجویز یک روش برای تجزیه هر تابع تناوبی پیچیده را به مجموع توابع سینوسی و کسینوس ساده. به عبارت دیگر عملکردهای سینوس و کسینوس عموما بلوک های سازنده هر عملکرد دوره ای هستند که می توانید فکر کنید و هر نوسان پیچیده ای مانند انقباض عضلات قلب را توصیف می کند.
خلاصه درس
نوسانات با حرکت تکراری در یک سیستم مشخص می شوند. نمونه ای از نوسان چرخش زمین به دور محور خود هر روز است. نوسانات در نمودارها زمانی مشهود است که الگویی را می بینید که همیشه در یک بازه زمانی خاص تکرار می شود. این فاصله نامیده می شود دوره تی و ویژگی اصلی یک تابع دوره ای است. دو توابع تناوبی بسیار مفید توابع هارمونیک ساده هستند, سینوس و کسینوس, زیرا دوره های خود را می توان به راحتی به یک معادله گنجانیده شده و می تواند در ترکیب برای تولید پیچیده, نوسانات دنیای واقعی.
برای باز کردن این درس شما باید یک Study. com عضو. حساب کاربری خود را ایجاد کنید
