این نتیجه 8 پاسکال است و با استقرا قابل اثبات است. نکته اصلی در استدلال این است که هر ورودی در ردیف $n، $ مثلاً $C^_$ به دو ورودی زیر اضافه می شود: یک بار برای تشکیل $C^_$ و یک بار برای تشکیل $C^_$ که از پاسکال پیروی می کند. هویت:
به همین دلیل، مجموع ورودی‌های ردیف $n + 1$ دو برابر مجموع ورودی‌های ردیف $n است (این نتیجه پاسکال 7 است.)
در نتیجه، نتیجه 9 پاسکال را داریم: در هر مثلث حسابی، هر پایه بر اساس واحد از مجموع همه پایه های قبلی بیشتر است. به عبارت دیگر، $2^ - 1 = 2^ + 2^ + .+ 1.$
توالی های شناخته شده ای از اعداد وجود دارد
برخی از آن دنباله‌ها زمانی بهتر مشاهده می‌شوند که اعداد به شکل پاسکال مرتب شوند، جایی که به دلیل تقارن، سطرها و ستون‌ها قابل تعویض هستند.
سطر اول فقط شامل $1$s است: $1, 1, 1, 1, \ldots$ سطر دوم شامل تمام اعداد شمارش است: $1, 2, 3, 4, \ldots$ سطر سوم شامل اعداد مثلثی است: $1, 3, 6, 10, \ldots$ ردیف چهارم شامل اعداد چهار وجهی است: $1, 4, 10, 20, 35, \ldots$ ردیف پنجم شامل اعداد پنج توپی است: $1, 5, 15, 35, 70, \ldots$
"Pentatope" یک اصطلاح اخیر است. پاسکال در مورد ردیف پنجم نوشت که . از آنجایی که هیچ نام ثابتی برای آنها وجود ندارد، ممکن است آنها را اعداد مثلثی-مثلثی نامید. اعداد پنتاتوپ در فضای $4D$ وجود دارد و تعداد رئوس را در یک پیکربندی از چهار وجهی $3D$ که در وجه ها به هم وصل شده اند، توصیف می کند.
در پیکربندی استاندارد، اعداد $C^_$ متعلق به محور تقارن هستند. اعداد $\fracC^_$ به عنوان اعداد کاتالان شناخته می شوند.
هر دو عدد مثلثی متوالی به یک مربع جمع می شوند: $(n - 1)n/2 + n(n + 1)/2 = n^.$
الگوی چوب هاکی
به قول پاسکال (و با اشاره به چیدمان او)، در هر مثلث حسابی، هر خانه برابر است با مجموع تمام خانه های سطر قبل از ستون خود تا اول، شامل (نتیجه 2). در اصطلاح مدرن،
توجه داشته باشید که در سمت راست، دو شاخص در هر ضریب دوجمله‌ای به همان اندازه از هم فاصله دارند: $n - m = (n - 1) - (m - 1) = \ldots$ این امکان بازنویسی (1) را به شکل کمی متفاوت فراهم می‌کند.:
شکل دوم قابل القاء آسان در $m.$ برای $m = 0، $ $C^_ = 1 = C^_، $ تنها عبارت در سمت راست است. با فرض (1') برای $m = k، $ اجازه دهید $m = k + 1:$
به طور طبیعی ، یک هویت مشابه پس از تعویض "ردیف ها" و "ستون ها" در ترتیب پاسکال نگه می دارد: در هر مثلث حسابی ، هر سلول برابر است با مجموع سلولهای ستون قبلی از ردیف آن تا اول ، فراگیر (نتیجه گیری 3).
جایی که شاخص دوم ثابت است.
الگوی موازی
جایی که $ k \ lt n ، $ j \ lt m. $ به کلمات پاسکال: در هر مثلث حسابی ، هر سلول کاهش یافته با وحدت برابر با مجموع تمام مواردی است که بین رتبه عمود و رتبه موازی آن گنجانده شده است ، منحصراً(نتیجه 4). این با مکرر آشکار شدن اصطلاح اول در (1) نشان داده شده است.
اعداد فیبوناچی
اگر مثلث را متفاوت ترتیب دهیم ، تشخیص توالی فیبوناچی آسان تر می شود:
اعداد فیبوناچی پی در پی مبالغ ورودی های مورب های SW-NE است:
$ \ شروع 1 & = 1 \\ 1 & = 1 \\ 2 & = 1 + 1 \\ 3 & = 1 + 2 \\ 5 & = 1 + 3 + 1 \\ 8 & = 1 + 4 + 3 \\ 13 & = 1 + 5 + 6 + 1 \ پایان $
ستاره دیوید
دو هویت زیر بین ضرایب دوتایی به عنوان "ستاره داوود قضایای" شناخته می شوند:
دلیل این امر در مشاهده پیکربندی ضرایب در مثلث پاسکال شفاف می شود.
تونی فاستر مشاهده کرد که با $ k = 1 ، $
بدون $ E $
برادران هارلان اخیراً ثابت اصلی $ e $ پنهان در مثلث پاسکال را کشف کرده اند. این با گرفتن محصولات - به جای مبالغ - از همه عناصر پشت سر هم:
$ s_ $ محصول شرایط در ردیف $ n $ است ، پس از آن ، $ n $ تمایل به بی نهایت دارد ،
مشتق را در یک پرونده جداگانه قرار دادم.
شماره کاتالان
پست تونی فاستر در صفحه فیس بوک CuttheKnotmath به الگویی که شماره های کاتالان را پنهان می کند اشاره کرد:
من یک توضیح را در یک پرونده جداگانه قرار دادم.
مبالغ متقابل دوتایی
پستی در صفحه فیس بوک CuttheKnotmath توسط دانیل هاردیسکی به الگوی زیر توجه من را جلب کرد:
من یک مشتق را در یک پرونده جداگانه قرار دادم.
مربع
همانطور که قبلاً نیز اشاره کردم ، مجموع دو شماره Triangualr متوالی یک مربع است: $ (n - 1) n/2 + n (n + 1)/2 = n^. $ tony Foster رؤیت یک خانواده از هویت را به وجود آوردکه منجر به یک مربع می شود.
من یک مشتق را در یک پرونده جداگانه قرار دادم.
مربع های دوتایی
من یک مشتق را در یک پرونده جداگانه قرار دادم.
مکعبها
تونی فاستر در زیر فتیژل مکعب هایی را در مثلث پاسکال در الگویی پیدا کرد که به درستی از آن به عنوان ستاره داوود یاد می کند - یکی دیگر از ظاهر آن تشبیه در مثلث پاسکال :::
در اینجا گرافیک اصلی او وجود دارد که این نام را توضیح می دهد:
یک الگوی دوم - "چرخ واگن" - که اعداد مربع را نشان می دهد وجود دارد.
من یک مشتق را در یک پرونده جداگانه قرار دادم.
$ pi $ در پاسکال
این به دلیل دانیل هاردیسکی است
من یک مشتق را در یک پرونده جداگانه قرار دادم.
محصولات ضرایب دوتایی
برای Integer $ n \ gt 1 ، \ ؛ $ اجازه دهید $ \ displayStyle p (n) = \ prod _^\ ؛ $ محصول تمام ضرایب دوتایی در متن $ n \ ؛ $ ردیف مثلث پاسکال باشد. سپس
